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凱利公式推導的下注資金比例往往是介在0%~100%之間,例如壓20%、壓30%、...等。可是如果今天有一場百分百必勝的賭局,難道你不會想借錢投資嗎? 如此看來凱利賭徒與槓桿似乎有矛盾之處? 凱利與槓桿的矛盾大對決,真的存在嗎?

借錢無罪,融資有理:理性凱利賭徒與危險槓桿的矛盾大對決!? 另開


傳統凱利公式告訴你要用多少比例的自有資金操作?我們推導更一般化的凱利公式,計算"賺最多"的財務槓桿比例。

事實證明,有時候,你就是該借錢投資!

借錢無罪,融資有理?
凱利公式(Kelly Formula)告訴我們,一場勝率為p,賠率為b的正期望報酬賭局,你該下注資金比例為
[p(1+b)-1]/b

快速複習一下凱利公式,分母b為賠率,代表賭1元贏了可拿回1+b元。分子p(1+b)-1為期望淨利 (意思是說當你賭1元的時候,有p的機率可以拿回1+b元,可是成本花了1元)。

可以證明[p(1+b)-1]/b 始終介在0%與100%之間 (證明放文章結尾)。因此,凱利公式也似乎透露了所有的交易,都建議使用"自有資金"操作,絕對不要借錢投資、融資交易。

市場上很多老師也是這樣叮嚀交待。

筆者當然也要提醒各位投資朋友,如果沒有深入研究、正確觀念,真的不要借錢投資。

寧可少賺,也不要虧錢,切記,切記!

然而,在本文裡我們要指出,有時後適當的借錢投資、融資交易,反而是合理的。所謂的"合理"是說一定要借錢融資才能讓你利益最大化。

您可能會覺得奇怪,凱利公式不是已經利益最大化了嗎? 難道筆者自打嘴巴,與凱利公式有所衝突?

當然不是,我們再從凱利公式開始看起。

"更一般化"的凱利公式(General Kelly Formula)
根據凱利公式: [p(1+b)-1]/b,若勝率p為100%,凱利公式說要100%全壓下去。

可是實際情況是,如果真的遇到勝率100%的賭局 (也就是市場上很多老師號稱的"必賺"),你甘願只壓全部的資金下去嗎?你會不會想借用槓桿的力量?賭場大的!

肯定會的,反正穩賺的,遇到這種情況,能借多少就賺多少!

上面的例子很矛盾,凱利公式明明是利益最大化的計算,怎麼會有一種資金運用方式(借錢 or 槓桿)會比凱利公式計算出來的比例更好賺呢?

原來問題出在,傳統凱利公式考慮的賭局,一輸就是輸100%的資金。

可是大部份的交易策略,至少至少都會設個停損點,可能是2%、可能是5%、10%,就算在凹單,要賠掉100%也真是夠不容易的,除非死不停損又遇到股票下市。

這樣的情形,很明顯跟傳統凱利公式所假設的 "一旦輸就是輸掉100%的資金"有所不同。

問題就出在這,那要怎麼推導更一般化的凱利公式?

1. 勝率 p
2. 平均獲利 b1 (100%)
3. 平均虧損 b2 (100%)

換句話說,傳統凱利賭局考慮的是b2=100%,但賠掉100%並不是常見的case,再爛的交易策略至少也都會設個停損。

於是,我們重新計算更一般化的凱利公式。

假設今天你只有100萬資金,但是你有個好朋友叫做 "Go Timing", 願意提供你任意的資金借貸。

您還是最多就只壓自有資金100萬嗎?

至少上述勝率100%的例子告訴我們不應該過於保守,只壓自己的資金。

所以這時問題來了,凱利賭徒是否過於保守?100%穩贏的賭局,竟然不敢去借錢來壓?

這裡我們不做公式的推導,我們先簡單的說明凱利公式與更一般化的凱利公式。

傳統凱利公式:
賭局:勝率為p、每次贏可贏b%、每次輸會輸100%。

下注資金比例=[p(1+b)-1]/b = [p] - [(1-p)/b]

更一般化的凱利公式:
賭局:勝率為p、每次贏可贏b1%、每次輸會輸b2%。

下注資金比例=[p/b2] - [(1-p)/b1]

注意到,我們將b2用100%代進去,可得到傳統凱利公式 [p] - [(1-p)/b]。

如何使用 General Kelly Formula?
有一場賭局(或是交易策略),勝率40%,每次贏會贏5% 、每次輸會輸2%。

也就是賭1元贏了可拿回1.05元、賭1元輸了可拿回0.98元。

則凱利公式計算的最佳比例為 [40%/2%]-[60%/5%]=8

因此,遇到這樣的賭局,當你有1元,請用8元去交易,也就是8倍的槓桿,你每要賭的1塊錢,都再去借7塊錢來玩!

快速結論
這篇的論述,還是凱利賭徒獲勝,槓桿使用經過凱利公式的計算,確實有其必要性。

水能載舟亦能覆舟,槓桿使用的好,上天堂;槓桿亂用,住套房。

你還在相信投顧老師可以帶你上天堂嗎?如果他發的簡訊,只是叫你買進哪檔標的,什麼時候買,什麼時後賣,而沒有告訴你要買多少資金,甚至使用槓桿,那筆者真的不建議你繼續跟著老師操作。

抱歉,這樣說可能得罪很多老師,但事實真是如此!

證明1: 傳統凱利公式的上界: [p(1+b)-1]/b = p - [(1-p)/b] < p ≦ 1
證明2: 一般化凱利公式的推導:(To be continued...? )

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